1.2.1 菲涅尔项 F

其中：

1.2.2 法线分布函数 D

D是法线分布函数，衡量微平面法线的分布情况，物理含义为每单位面积,每单位立体角下所有法向为

其中：

1.2.3 几何遮挡函数 G

G是几何函数，为了表示微平面的自遮挡从而引起的光线损失，如下图所示：

左边一幅图中是入射光线无法照射到一些微平面，这种情况称为Shadowing，右边图中是反射光线无法正常到达人眼，称为Masking，而几何函数G正是为了模拟出这两种情况所导致的光线损失，在UE4中采用了Schlick-GGX来进行建模：

其中：

(注：这里仅仅使用IBL作为光源)

2 基于图像的照明 IBL

不如想象这样一个场景：所有需要渲染的模型都处于一个巨大的球体的中心，球体上的每一个点都会发出光线照射模型，因为球体的相对"巨大"，所以模型之上的相对移动都可以忽略，因此对于模型上的每一点能接收到来自球体的光线都由其法线所在半球决定，如下图所示：

对于一个如下图这样的天空盒只需要给定采样方向就可以获得入射光的辐射度： （天空盒与球体是互通的）

采样结果：

以上正是基于图像的照明的想法，正如开篇所讲其实就是利用了整个天空盒贴图来当作光源，以更多的环境光源来提升渲染的质量，这里的难点就是，如果我们每算一个点都要去用该点法线所在半球的所有方向来采样天空盒，获得辐射度结果，来充当反射方程的入射光

2.1 漫反射部分

将第一章提到的Cook-Torrance BRDF 带入反射方程得到：

进一步，将反射方程展开：

其中左半部分即为漫反射部分，右半部分即为镜面反射部分，首先考虑漫反射部分，同时将

其中

与原始式子相比有两个区别：

1.第一个括号的

2.第二个括号的

现在漫反射项的积分值仅仅取决于法线向量

对于积分的计算可以直接使用蒙特卡洛积分的方法，在

将

只要遍历所有法线方向，再利用上式计算出每个法线向量所对应的结果，存储在贴图中即可，称该贴图为irradiance map。同样不难想象，因为遍历了所有法线方向，存储下来的贴图依然是一个6张的天空盒贴图：

当然最终实际渲染的时候，也是利用法线

2.2 镜面反射部分

根据反射方程，镜面反射部分如下：

其中：

此时的积分值会因为

2.2.1 prefilter environment map

(以下推导证明，很大程度参考了

仔细观察近似之后式子的右半部分，不难发现其实是一个蒙特卡洛积分的形式，我们将其还原：

如此，不难进一步推导出，对于分解之后左边括号的内容其实是对这样一个式子的近似：

以下我们暂且把右边部分放在一旁，首先解释分解的左边部分。利用蒙特卡洛积分的方法，将分子和分母分别展开：

将

接下来对概率密度函数

其中

而我们都知道的一点是，pdf在其整个积分域的积分值为1，所以该积分式中的被积项

首先固定观察方向

根据图中的单位球面坐标系以及标注的角度，不难得出

同时

此时已经知道了

将其带入

因此，最终得到

出于以下两点考虑，约去分子分母的菲涅尔项的

1.当物体表面比较光滑时，采样的

2.当物体表面比较粗糙时，最终的radiance计算结果也会比较粗略，加不加

虚幻4在此之上做了进一步的假设，即令

在不同方向入射时(除掠角)，波瓣的变化不大，所以会有：

转变示意图：

(注意这里的

将假设条件带入原积分式子得：

其中进一步化简：

呼~！ 经过一众的近似化简推导之后，我们终于得到了与虚幻4所给出的分解十分相似的结果，不过害有一点不一样的是，虚幻4中用

由于假设了

需要注意的是这里与irradiance map不同的是需要使用反射方向

2.2.2 BRDF LUT

再观察这个分解的式子：

此时积分中含有的变量为：

推导的最后一步已经成功的将积分内的

将2.2.1节所推导得到的

同样不难推导出B：

计算得到的贴图称为LUT，如下：

附上lut计算代码：

最后在真正渲染时，计算某个点着色的过程只需要对贴图采样再加以计算即可：

fragment_shader伪代码:

vec3 ibl_fragment_shader()
{
 vec3 f0 = lerp(vec3(0.04), albedo, metalness);
 vec3 F = fresenlschlick_roughness(wo, normal, f0, roughness);
 vec3 kS = F;
 vec3 kD = (1 - metalness) * (vec3(1) - kS);
 
 //diffuse
 vec3 irradiance = cubemap_sample(irradianceMap, normal);
 vec3 diffuse = irradiance * kD * albedo;
 
 //prefilter
 vec3 R = reflect(wo, normal);
 int specular_miplevel = (int)(roughness * max_mip_level + 0.5f);
 vec3 prefilter_color = cubemap_sample(prefilterMap, R, specular_miplevel );
 
 //lut
 vec2 temp= texture_sample(brdfLUT, n_dot_v, roughness);
 float A = temp.x, B = temp.y;
 
 //specular
 vec3 specular = f0 * A + vec3(B, B, B);
 specular = cwise_product(prefilter_color, specular);
 
 vec3 result= kD * diffuse + specular;
 return result;
}

3 总结

以上就是IBL的所有过程了，不难看出为了得到实时的效果，在计算镜面反射项的时候进行了大量的近似，误差主要来源就是这里，但利用IBL对渲染效果提升是巨大的，可以看几张渲染图：

最后再贴一下我自己写的软光栅渲染器：

简单的Blinn-Phong模型与IBL都有实现。包括一些其它的图形学基础算法，这里就不在列举了。

主要特点是纯C++实现，没有任何依赖，核心代码大概在2000多行，因此比较适合阅读与学习，如果有任何错误与问题也欢迎指正交流！

Reference

[1]Ubp.a:深入理解 PBR/基于图像照明 (IBL)

[2]moriya苏蛙可:DX12渲染管线(1) - 基于物理的渲染(PBR)

[3] LearnOpenGL

[4] Real shading in Unreal Engine 4

[5] Background: Physics and Math of Shading by Naty Hoffmann